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► 2. Construcciones ultraligeras

       ► 2.4 Puntos simétricos

Objetivos

Con muy pocos elementos podemos crear una construcción como hoja de trabajo sobre la que estudiar la simetría axial o central.

Herramientas y comandos

Emplearemos las siguientes herramientas:

Elige y mueve

Elige-y-Mueve

 Punto Punto Punto medio o Centro Centro
Segmento Segmento Refleja en recta Refleja-en-recta Refleja por punto Refleja-por-punto
Casilla de Control Casilla  
Construcción paso a paso

Primero preparamos el escenario.

Práctica Preparación

Sí

Sí

Activa (Cuadrícula)

Reflejaremos un punto en el eje Y y contrastaremos las coordenadas del punto imagen con el punto original.

Práctica Etapa 1
  • Herramienta  Punto. Colocamos un punto A.
  • Herramienta  Refleja-en-recta. Clic en A y en el eje Y (se crea A').
  • Herramienta Elige y Mueve Elige-y-Mueve (o pulsamos la tecla Esc).
  • En el cuadro de diálogo Propiedades (pestaña Básico) de A y A', establecemos Muestra Rótulo en "Nombre y Valor".
  • Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Cambiaremos la reflexión en el eje Y por la reflexión en el eje X.

Práctica Etapa 2
  • Hacemos clic en A' y pulsamos F3 (esto provocará que la definición de A' aparezca en el campo de Entrada).
  • Cambiamos EjeY por EjeX.
  • Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Introduciremos la recta y=x para reflejar A sobre ella.

Práctica Etapa 3
  • Entrada:  r: y=x
  • Hacemos clic en A' y pulsamos F3.
  • Cambiamos EjeX por r.
  • Movemos A por los distintos cuadrantes y contrastamos sus coordenadas con las de A'.

Ahora comenzaremos de nuevo, olvidando las coordenadas.

Práctica Nueva preparación

No

No

Desactiva

Visualizaremos el segmento que une A con su imagen y el punto medio entre ambos puntos.

Práctica Etapa 4
  • En el cuadro de diálogo Propiedades (pestaña Básico) de A y A', establecemos Muestra Rótulo en "Nombre" y activamos Muestra Rastro (se puede hacer en ambos a la vez).
  • Herramienta  Segmento. Clic en A y en A'.
  • Herramienta  Centro (punto medio). Clic en A y en A'.
  • Herramienta Elige y Mueve Elige-y-Mueve (o pulsamos la tecla Esc). Movemos A y observamos el conjunto.

Haremos lo mismo con la reflexión central.

Práctica Etapa 5
  • Borramos la recta r (clic derecho, Borra, o clic izquierdo, tecla supr).
  • Limpiamos la pantalla tecleando Control+F (o, alternativamente, desde el ítem Actualiza Vista Gráfica del menú Vista).
  • Herramienta  Punto. Colocamos un punto B.
  • Herramienta  Refleja-por-punto. Clic, en este orden, en A y en B (se crea A').
  • Herramienta  Segmento. Clic en A y en A'.
  • Herramienta Elige y Mueve Elige-y-Mueve (o pulsar la tecla Esc).
  • Mostramos el rastro de A' (clic derecho, Activa Rastro).
  • Movemos A y observamos el conjunto.
Ejemplo de construcción
Práctica Puntos simétricos

 

 

Construcción: Puntos simétricos

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

 
Práctica Propuesta de construcción

 

 

Realizar una construcción similar que muestre que cualquier reflexión central equivale a dos reflexiones axiales.

 
Comentarios

En la construcción de ejemplo, hemos añadido una casilla de control y duplicado los puntos A y A' para poder "levantar el lápiz" a voluntad (ver apartado Un truco del módulo 1). Con esta ayuda, hemos escrito el número 50538.

Investigación Investigación:

  • Si ponemos 50538 en la calculadora y le damos la vuelta, podemos leer "besos", como en la imagen anterior. ¿Hacer una simetría central es lo mismo que "dar la vuelta", es decir, equivale a un giro de 180º?
  • Comprobar que las coordenadas reflejadas de un punto (m, n) por otro (a, b) son (2a - m, 2b - n).
  • Comprobar que las coordenadas reflejadas de un punto (m, n) por la recta a x + b y = c son:

 (2 a (c - b n) - m v, 2 b (c - a m) + n v) / u

donde u = a² + b², v = a² - b².

 

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